Komplexe Mannigfaltigkeiten: Heisenberg-Förderung für LMU-Mathematiker

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Mathematik befasst sich oft mit Formen – aber nicht nur mit den vertrauten, die wir sehen und anfassen können. Eine wichtige Klasse solcher mathematischen Formen folgt Regeln, die aus der Welt der komplexen Zahlen stammen. Diese sogenannten komplexen Mannigfaltigkeiten tauchen in der modernen Mathematik und sogar in der theoretischen Physik auf. Doch trotz jahrzehntelanger Forschung ist ihre tiefere Struktur immer noch nur teilweise verstanden.

Mit seinem Heisenberg-Projekt „Topologische Methoden und die ddbar-Gleichung auf komplexen Mannigfaltigkeiten“ geht Dr. Jonas Stelzig das Problem an, indem er zwei sehr unterschiedliche mathematische Perspektiven zusammenführt:

Auf der einen Seite stehen die Topologie und die Homotopietheorie, die Formen auf äußerst flexible Weise untersuchen. Aus dieser Perspektive können Objekte gedehnt, gebogen oder verformt werden, ohne zu zerbrechen – als wären sie aus Gummi. Diese Flexibilität ermöglicht es Mathematikerinnen und Mathematikern, allgemeine strukturelle Informationen zu gewinnen und Räume mithilfe leistungsfähiger algebraischer Werkzeuge zu klassifizieren.

Auf der anderen Seite steht die komplexe Geometrie, die wesentlich starrer ist. Hier müssen Formen strenge analytische Bedingungen erfüllen, was sie weitaus weniger verformbar macht. Kleine Störungen können ihre Beschaffenheit grundlegend verändern, und viele der Techniken, die in der Topologie funktionieren, sind hier nicht mehr anwendbar.

Flexibilität und Starrheit in Einklang bringen

Eine zentrale Idee des Projekts, das mit einer Summe von knapp 700.000 Euro über einen Zeitraum von fünf Jahren gefördert wird, ist es, diese Lücke zu schließen. Durch die Entwicklung eines neuen Rahmens – der sogenannten pluripotentiellen Homotopietheorie – verbindet die Forschung die Flexibilität der Topologie mit der Starrheit der komplexen Geometrie.

Diese Synthese eröffnet neue Möglichkeiten. Sie ermöglicht es Mathematikerinnen und Mathematikern, verschiedene komplexe Formen effektiver zu vergleichen, zu verstehen, wie sie sich verändern oder verformen können, ihre Symmetrien zu untersuchen und verborgene Strukturen aufzudecken, die zuvor unzugänglich waren.

Zudem gelten viele derzeit verfügbare Methoden nur für eine bestimmte Unterklasse komplexer Mannigfaltigkeiten – die sogenannten Kähler-Mannigfaltigkeiten –, während die Forschung außerhalb dieses Bereichs noch immer bis zu einem gewissen Grad auf Einzelfallstudien basiert. Die in diesem Antrag entwickelten Methoden hingegen lassen sich einheitlich auf alle komplexen Mannigfaltigkeiten anwenden.

„Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Projekt neue, vereinheitlichende Methoden für die Untersuchung komplexer Mannigfaltigkeiten bereitstellt, die einen Kompromiss zwischen Flexibilität und Starrheit schaffen“, erklärt Stelzig.

Das Heisenberg-Programm der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) fördert herausragende Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler, die noch keine Professur haben, aber alle Voraussetzungen für die Berufung erfüllen, und dient der Förderung dieses wissenschaftlichen Nachwuchses.